mathematiques

PDF non encore disponible pour ce cours

Partager ce cours :

🔹 Introduction

Les nombres complexes constituent une extension des nombres réels. Ils permettent de résoudre certaines équations qui n’admettent pas de solutions dans ℝ, notamment les équations du type (x^2 + 1 = 0).

Ce chapitre est fondamental pour le baccalauréat tunisien, car il intervient dans plusieurs exercices d’algèbre et de géométrie.

---

🔹 Définition d’un nombre complexe

Un nombre complexe s’écrit sous la forme :

z = a + ib

où :

• a est la partie réelle
• b est la partie imaginaire
• i est un nombre tel que : i² = -1

On note :

• Re(z) = a
• Im(z) = b

---

🔹 Égalité de deux nombres complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales :

a + ib = c + id ⇔ a = c et b = d

---

🔹 Conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué de z = a + ib est :

z̄ = a – ib

Propriétés :

• z + z̄ = 2a
• z × z̄ = a² + b²
• z = z̄ ⇔ z est réel

---

🔹 Module d’un nombre complexe

Le module de z = a + ib est défini par :

|z| = √(a² + b²)

Interprétation : c’est la distance entre le point représentant z et l’origine du repère.

---

🔹 Représentation géométrique

Dans le plan complexe :

• l’axe horizontal représente la partie réelle
• l’axe vertical représente la partie imaginaire

Ainsi, chaque nombre complexe correspond à un point du plan.

---

🔹 Argument d’un nombre complexe

Soit z ≠ 0.

On appelle argument de z, noté arg(z), l’angle formé entre l’axe des abscisses et le vecteur représentant z.

---

🔹 Écriture trigonométrique

Tout nombre complexe non nul peut s’écrire :

z = r (cosθ + i sinθ)

où :

• r = |z| est le module
• θ = arg(z)

---

🔹 Écriture exponentielle

On peut aussi écrire :

z = r e^{iθ}

Cette forme est très utilisée dans les calculs.

---

🔹 Propriétés importantes

• |z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂|
• arg(z₁ × z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• |z²| = |z|²

---

🔹 Exemple corrigé

Soit z = 1 + i

1. Module :
   |z| = √(1² + 1²) = √2
2. Argument :
   arg(z) = π / 4
3. Écriture trigonométrique :
   z = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4))

---

🔹 Exercices d’entraînement

1. Calculer le module de z = 3 – 4i
2. Déterminer le conjugué de z = 2 + 5i
3. Donner l’écriture trigonométrique de z = i

---

🔹 QCM

1. i² = -1 ✔
2. Le module est toujours positif ✔
3. Un nombre réel a une partie imaginaire nulle ✔

---

🔹 Résumé

• Un nombre complexe s’écrit a + ib
• Le module représente une distance
• L’argument représente un angle
• Le conjugué change le signe de la partie imaginaire

---

🔹 Conclusion

Les nombres complexes sont essentiels pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques. Leur maîtrise est indispensable pour réussir au baccalauréat tunisien.

---